HIMPUNAN (Matematika Diskrit)

H I M P U N A N

(MATEMATIKA DISKRIT)

1.1. PENGERTIAN HIMPUNAN

       Himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas)  segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

1.2 CARA PENULISAN

Cara penulisan himpunan dapat dibagi menjadi empat, yaitu :

A. Himpunan Enumerasi

Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di Antara dua buah tanda kurung kurawal.

Contoh :

     – Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}.

     – Himpunan B teridiri dari bilangan genap kurang dari 6: B={2,3,4}

 B. Notasi Pembentukan Himpunan

 Penulisan notasi adalah { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh :

     A adalah himpunan bilangan asli lebih kecil dari 9

     A = { x | x  bilangan asli lebih kecil dari 9} atau A  =  { x | x  P, x < 9 } yang ekivalen dengan   A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}    

 C. Diagram Venn

 Diagram Venn yaitu dengan menyajikan himpunan dengan gambar atau diagram

 Contoh :

    D. Simbol-simbol Baku

        Simbol baku adalah penulisan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah               baku  dan sering digunakan dalam penjabaran matematika.

        Contoh :

          – Himpunan A terdiri dari bilangan asli: A={1,2,3,4,...}.

          – Himpunan B terdiri dari bilangan ganjil positif kurang 10: A={1,3,5,7,9}.

1.3. KARDINALITAS         

      Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya jumlah anggota

1.4. MACAM- MACAM  HIMPUNAN

      A. Himpunan Berhingga

          Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. 

          Contoh :

                    A = { x ê x  adalah 3 bilangan  ganjil pertama } = { 1, 3, 5 }

                    B = { x ê 5 < x < 15 ,  x = bilangan genap } =  { 6, 8, 10, 12, 14 }   

            B. Himpunan Tak Berhingga  

        Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak  berhingga.

          Contoh :

            A = { x ç x  adalah bilangan genap >  2 } = { 4, 6, 8, 12, 14, ……… }   

      B = { x ç x  adalah bilangan asli > 5 } = { 6, 7, 8, 9, 10, ……..…… }   

            C. Himpunan Kosong

                  Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

            Contoh :

                 E = { x ê x² = 16 , x  adalah ganjil } = {     }   atau   f

            D. Himpunan Sama     

        Himpunan sama, yaitu himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama, walaupun urutannya berbeda.

            Contoh :

            Jika A = { 2, 3, 4, 5  } dan B = { 4, 2, 3, 5} maka  A = B

              E. Himpunan Ekivalen      

      Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama.

            Contoh :

                 Jika A  =  { 2, 3, 1, 19, 5} dan B = { i, q, b, a, l } maka  A ~ B karena n(A) = n(B) = 5      

              F. Himpunan Bagian

       Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

            Contoh :

Jika A  =  { 3, 4, 5, 6 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } maka  A Ì B  ( A subset dari B ), sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

         G. Himpunan Saling Lepas

  Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda. 

              Contoh :

                  Jika A  = { 6, 7, 8, 9  } dan B = { 16, 17, 18, 19 } maka  A  | |  B

 H. Himpunan Semesta

  Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan.

              Contoh :

      Jika A  =  {1, 2, 3, 4 } , B = {5, 6, 7, 8} dan  C = { 9, 10, 11, 12,} maka himpunan  semestanya N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,}

I. Himpunan Komplemen

Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

            Contoh :

Jika A = { bilangan bulat positif}, B  =  {1, 2, 3, 4, 5 } dan C = {1, 2, 3,...} maka himpunan komplemen dari C adalah C^c = {4, 5, 6 ...} dan himpunan komplemen dari B adalah B^c =  { 6, 7, 8 … }

       J. Himpunan Keluarga

Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan.

           Contoh :

               A  =  {{2,4}, {1,5}, {2,6,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

               B  =  {{2,4},  1, 5 , {2,6,7}} ……… Û Bukan Himpunan Keluarga

           K. Himpunan Kuasa 

        Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset   dari himpunan yang bersangkutan. Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2ⁿ maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2ⁿ.

               Contoh :

              A =  { 2, 4 } maka himpunan bagiannya ada 2² = 4, yaitu :

                { 2  }  Ì  {2, 4}, { 4  }  Ì  {2, 4}, {2, 4}  Ì  {2, 4,}, {   }  Ì  {2, 4} maka himpunan kuasa

             A = {2,4}  adalah {{2},{4},{2,4},{  }}

1.3. OPERASI PADA HIMPUNAN

         A. Irisan (intersection)

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebah himpunan yang setiap elemen nya merupakan  bagian dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Diagram Venn untuk A ∩ B seperti gambar berikut :

Daerah yang diarsir merupakan bagian dari daerah A dan daerah B. Jika dua himpunan saling  lepas, maka irisan nya adalah himpunan kosong, karena tidak ada elemen yang sama didalam kedua himpunan tersebut.

Contoh lainnya :

a. Jika A = {3, 6, 9, 12} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, maka A ∩ B = {6, 12}

b. Jika A = {4, 7, 9} dan B = {-2, 5}, maka A ∩ B = ∅. Yang berarti A || B

B. Gabungan (union)

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Diagram Venn untuk A ∪ B seperti gambar berikut.

Dapat kita perhatikan bahwa gabungan dari himpunan A dengan himpunan B menjadikan satu kesatuan antara dua buah himpunan.

misalkan :

A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3, 5}, maka

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Contoh lainnya :

a. Jika A = {1, 5, 8} dan B = {7, 10, 15}, maka A ∪ B = {1,5,7,8,10,15}

b. Jika A = {a, b, c} dan B = {d, e, f}, maka A ∪ B = {a,b,c,d,e,f}

      C. Selisih (difference)

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Operasi selesih hanya mengambil bagian yang tidak terdapat pada pasangan himpunan nya.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }

	Diagram Venn untuk A - B ditunjukkan pada gambar berikut.

Perhatikan bahwa bagian yang diarsir hanya elemen-elemen khusus yang terdapat pada elemen A saja, dan bukan pada elemen B.

Contoh lainnya :

a. Jika A = {1,2,3,…,10} dan B = {1,3,5,7,9}, maka A – B = {2,4,6,8,10} dan B – A = Ø

b. {3, 7, 9} – {3, 6, 7} = {9}

c. {3, 6, 7} – {3, 7, 9} = {6}

         D. Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = {x | x ∈ U dan x ∉ A}

Operasi komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta U adalah sebagai berikut.

  Contoh :

  A = himpunan semua rumah yang berada di Jakarta 

  B = himpunan semua rumah yang berada di Medan

  C = himpunan semua rumah yang dibangun setelah tahun 2016

  D = himpunan semua rumah yang nilai jualnya diatas dari Rp 500 juta

  E = himpunan semua rumah milik mahasiswa univeristas tertentu

 a.       Pernyataan "semua rumah milik mahasiswa universitas ini berada di Jakarta atau  berada  di Medan"

dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau E ∩ (A ∪ B)

 b.       Pernyataan "semua rumah yang berada di Jakarta yang dibuat setelah tahun 2016  yang nilai jualnya diatas dari Rp 500 juta"  

dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai A ∩ C ∩ D 

         E. Beda-Setangkup (symmetric difference)

Operasi beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemen nya ada pada himpunan A dan B tetapi tidak pada keduanya. Dengan kata lain, operasi beda setangkup mengambil semua bagian yang berbeda dari kedua himpunan.

Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B)– (A ∩ B)

Diagram Venn untuk A ⊕ B adalah sebagai berikut.

	Contoh :

a. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {2, 4, 6}, maka A ⊕ B = {4,5,6,8}

b. A = himpunan segitiga sama kaki

                          B = himpunan segitiga sama siku-siku

                         A ⊕ B = himpunan segitiga sama kaki yang tidak siku-siku

                         dan segitiga siku-siku yang tidak sama kaki.

        F. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan yang berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Notasi : A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}

Contoh :

Misalkan C = {1,2,3}, dan D = {a,b}, maka perkalian kartesian

C dan D adalah C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}