FUNGSI

FUNGSI

Di dalam matematika diskrit, fungsi juga menjadi peran penting di mata kuliah ini. Fungsi juga digunakan untuk mendefinisikan struktur-struktur diskrit seperti sequense dan string, untuk mendiskripsikan lama waktu yang digunakan dan untuk memecahkan persoalan dengan komputer, atau di dalam ilmu komputer dikenal adanya fungsi rekursif, yaitu fungsi yang memanggil dirinya sendiri.  Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar fungsi yang dibutuhkan dalam matematika diskrit.

A. Definisi Fungsi :

1. Jika A dan B adalah himpunan, maka  fungsi f dari A ke B akan memetakan  ke tepat satu elemen B untuk setiap elemen A, ditulis f : A →  B yang artinya f memetakan A ke B, A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

2. Jika F adalah fungsi A ke B, maka A adalah domain dari f dan B adalah codomain dari f.  Jika f(a) = b maka b dikatakan sebagai image dari a dan a adalah preimage dari b. Range f adalah himpunan semua image dari elemen A. jika F adalah fungsi dari A ke B maka dikatakan bahwa F memetakan A ke B. 

3. Jika f1 dan f2adalah fungsi dari A ke R maka f1 + f2 dan f1f2 juga fungsi dari A ke R yang didefinisikan oleh :  

 (f1 + f2)(x) = f1 (x) + f2(x), 

 (f1 f2)(x) = f1 (x) f2(x) 

Contoh 3.1 : 

 f1 dan f2 adalah fungsi dari R ke R dimana f1 (x) = x.x dan f2 (x) = (x – x.x) maka 

(f1 + f2) (x) = f1 (x) + f2 (x) = x.x + (x – x.x) = x dan 

f1 f2 (x) = f1 (x) f2 (x) = xx(x – xx) = x3 – x4

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk , diantaranya :
1 . Himpunan pasangan terurut . Seperti pada relasi .
2 . Formula pengisian nilai (assignment) .
Contoh : f ( x ) = 2 x + 1 0 , f (x) = x2 , dan f (x) = 1/x .
3 . Kata - kata
Contoh : “ f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner ” .
4 . Kode program (source code)
Contoh : Fungsi menghitung |x|
function abs (x:integer) : integer;
begin
if x < 0 then
abs : = - x
else
abs : = x ;
end ;
Contoh
f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini
f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

Contoh
f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua
elemen A dipetakan ke B.


B. Macam Macam Fungsi

Fungsi Satu ke Satu (One to One) dan Onto

1. Fungsi Satu ke Satu (One to One)  

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. 

Contoh 1.1 :  

f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,  f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

Contoh 1.2 : 

Misalkan f : Z ®Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu? 

jawab : f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ¹ 2. f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ¹ b, a – 1 ¹ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

2. Fungsi pada Onto 

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Contoh 2.1 : 

f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.  f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Misalkan f : Z -> Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada?

Jawab :  

f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

Fungsi berkoresponden satu-kesatu atau bijeksi (bijection)

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada onto.

Contoh : 

Fungsi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.  

Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada onto.

Fungsi Invers (Balikan)

      Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh :
f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Jawab:
Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.

Jawab:
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-kesatu,
sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi
yang not invertible.

C. Komposisi Dua Buah Fungsi
         Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh
(f o g)(a) = f(g(a))

Contoh :
1. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w,z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

2. Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f o g dan g o f .
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2

D. Fungsi - Fungsi Khusus

1. Fungsi Floor dan Ceiling 

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Fungsi ceiling dari x: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas

Contoh : 

[3.5 ]= 3  [ 3.5] = 4  [ 0.5] = 0
[ 0.5] = 1 [ 4.8] = 4  [ 4.8] = 5
[– 0.5 ] = – 1 [– 0.5 ] = 0 [ –3.5] = – 4

2. Fungsi Modulo 

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m.

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 £ r < m.

Contoh :
25 mod 7 = 4                    15 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12              0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 × (–4) + 3 )


3. Fungsi Faktorial

4. Fungsi Eksponensial

5. Fungsi Logaritmik

6. Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. 

Contoh :

n! = 1 × 2 × … × (n – 1) × n = (n – 1)! × n. 

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

Basis : Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.
Rekurens : Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).