INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

A. Prinsip Induksi yang Sederhana

Induksi Matematika ini bisa kita artikan seperti ini, misalkan setiap bilangan Real N kita memiliki pernyataan P(n) yg hasilnya bisa benar (true) atau salah (false).

contoh :

P(1)  kita nyatakan sebagai true (benar).

Jika P(n) adalah true (benar), maka P(n + 1) hasilnya juga true (benar)

jadinya P(n) akan menjadi true (benar) untuk setiap bilangan Real (asli) n.

Langkah pertama kita sebut sebagai Langkah Dasar, sedangkan Langkah kedua kita sebut sebagai Langkah Induktif.

Contoh 1 :

menggunakana induksi matematika untuk mengetahui jikalau jumlah n adalah bilangan ganjil, bilangan positif pertama 

a/ n2.

Mari kita buktikan:

1.  Basis induksi: 
      Untuk n = 1, 
     jumlah 1  bilangan ganjil positif pertama a/ 19 = 1. 
     Hasilnya menjadi true (benar) karena jumlah 1 bilangan ganjil positif pertama a/ 1.

cara induksi:

jikalau p(n) adalah true (benar), seperti

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

a/ true (benar )>>>(hipotes dari induksi)

[perlu digaris bawahi jika bilangan ganjil positif ke-n a/ (

2n – 1)]

Kita juga harus membuktikan jika p(n +1) hasilnya adalah true (benar) seperti,

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

A/ benar. Hal ini dapat kita buktikan spt dibawah ini:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n2 + (2n + 1)

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Krn langkah basis & langkah induksi ke2 telah diketahui jika hasilnya true (benar) jadi jumlah n bilangan ganjil positif pertama a/ n2.

B. Prinsip Induksi yang Dirapatkan/dipadatkan.

Misal p(n) adalah pernyataan tentang bilangan bulat dan kita ingin mengetahui lebih lanjut jika  p(n) hasilnya true (benar) untuk semua bilangan bulat  n3 n0. Untuk membuktikan,kita hanya perlu tahu jika:

p(n0)  hasilnya true (benar), dan untuk semua bilangan bulat  n3 n0,

jika p(n) dinyatakan true (benar) maka p(n+1) juga hasilnya true  (benar)

Contoh :

Untuk semua bilangan bulat bukan-negatif (n), kita buktikan dengan induksi matematik jika

30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1

Cara menyelesaikan:

1. Basis induksi.

untuk n = 0 (bukanlah bil bulat  neg pertama), we have:

30 = 30+1 – 1

Ini jelas benar, sebab  

30 = 1  

= 30+1 – 1

= 31 – 1

= 3– 1

= 1

2. Langkah induksi.

jikalau untuk semua bilangan bulat Bukanlah-negatif  (n),

30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1 

Kita nyatakan benar (hipotes induksi). Kita harus membuktikan bila,

30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

Hasilnya sama benar atau true. Kita buktikan sebagai berikut:

30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = (30 + 31 + 32 + … + 2n) + 2n+1

= (2n+1 – 1) + 2n+1 (a/ H induksi)

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2 . 2n+1) – 1

= 2n+2 – 1

= 2(n+1) + 1 – 1

 Krn langkah pertama dan keduanya menyatakan hasilnya true (benar), jadi untuk semua bilangan bulat bukanlah-negatif, karena telah kita buktikan jika

 30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1